(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(U11(tt, M, N)) → mark(U12(tt, M, N))
active(U12(tt, M, N)) → mark(s(plus(N, M)))
active(U21(tt, M, N)) → mark(U22(tt, M, N))
active(U22(tt, M, N)) → mark(plus(x(N, M), N))
active(plus(N, 0)) → mark(N)
active(plus(N, s(M))) → mark(U11(tt, M, N))
active(x(N, 0)) → mark(0)
active(x(N, s(M))) → mark(U21(tt, M, N))
active(U11(X1, X2, X3)) → U11(active(X1), X2, X3)
active(U12(X1, X2, X3)) → U12(active(X1), X2, X3)
active(s(X)) → s(active(X))
active(plus(X1, X2)) → plus(active(X1), X2)
active(plus(X1, X2)) → plus(X1, active(X2))
active(U21(X1, X2, X3)) → U21(active(X1), X2, X3)
active(U22(X1, X2, X3)) → U22(active(X1), X2, X3)
active(x(X1, X2)) → x(active(X1), X2)
active(x(X1, X2)) → x(X1, active(X2))
U11(mark(X1), X2, X3) → mark(U11(X1, X2, X3))
U12(mark(X1), X2, X3) → mark(U12(X1, X2, X3))
s(mark(X)) → mark(s(X))
plus(mark(X1), X2) → mark(plus(X1, X2))
plus(X1, mark(X2)) → mark(plus(X1, X2))
U21(mark(X1), X2, X3) → mark(U21(X1, X2, X3))
U22(mark(X1), X2, X3) → mark(U22(X1, X2, X3))
x(mark(X1), X2) → mark(x(X1, X2))
x(X1, mark(X2)) → mark(x(X1, X2))
proper(U11(X1, X2, X3)) → U11(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X1, X2, X3)) → U12(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(plus(X1, X2)) → plus(proper(X1), proper(X2))
proper(U21(X1, X2, X3)) → U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U22(X1, X2, X3)) → U22(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(x(X1, X2)) → x(proper(X1), proper(X2))
proper(0) → ok(0)
U11(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U11(X1, X2, X3))
U12(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U12(X1, X2, X3))
s(ok(X)) → ok(s(X))
plus(ok(X1), ok(X2)) → ok(plus(X1, X2))
U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U21(X1, X2, X3))
U22(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U22(X1, X2, X3))
x(ok(X1), ok(X2)) → ok(x(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Rewrite Strategy: FULL
(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
U11(mark(X1), X2, X3) →+ mark(U11(X1, X2, X3))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0].
The pumping substitution is [X1 / mark(X1)].
The result substitution is [ ].
(2) BOUNDS(n^1, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(U11(tt, M, N)) → mark(U12(tt, M, N))
active(U12(tt, M, N)) → mark(s(plus(N, M)))
active(U21(tt, M, N)) → mark(U22(tt, M, N))
active(U22(tt, M, N)) → mark(plus(x(N, M), N))
active(plus(N, 0')) → mark(N)
active(plus(N, s(M))) → mark(U11(tt, M, N))
active(x(N, 0')) → mark(0')
active(x(N, s(M))) → mark(U21(tt, M, N))
active(U11(X1, X2, X3)) → U11(active(X1), X2, X3)
active(U12(X1, X2, X3)) → U12(active(X1), X2, X3)
active(s(X)) → s(active(X))
active(plus(X1, X2)) → plus(active(X1), X2)
active(plus(X1, X2)) → plus(X1, active(X2))
active(U21(X1, X2, X3)) → U21(active(X1), X2, X3)
active(U22(X1, X2, X3)) → U22(active(X1), X2, X3)
active(x(X1, X2)) → x(active(X1), X2)
active(x(X1, X2)) → x(X1, active(X2))
U11(mark(X1), X2, X3) → mark(U11(X1, X2, X3))
U12(mark(X1), X2, X3) → mark(U12(X1, X2, X3))
s(mark(X)) → mark(s(X))
plus(mark(X1), X2) → mark(plus(X1, X2))
plus(X1, mark(X2)) → mark(plus(X1, X2))
U21(mark(X1), X2, X3) → mark(U21(X1, X2, X3))
U22(mark(X1), X2, X3) → mark(U22(X1, X2, X3))
x(mark(X1), X2) → mark(x(X1, X2))
x(X1, mark(X2)) → mark(x(X1, X2))
proper(U11(X1, X2, X3)) → U11(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X1, X2, X3)) → U12(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(plus(X1, X2)) → plus(proper(X1), proper(X2))
proper(U21(X1, X2, X3)) → U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U22(X1, X2, X3)) → U22(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(x(X1, X2)) → x(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
U11(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U11(X1, X2, X3))
U12(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U12(X1, X2, X3))
s(ok(X)) → ok(s(X))
plus(ok(X1), ok(X2)) → ok(plus(X1, X2))
U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U21(X1, X2, X3))
U22(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U22(X1, X2, X3))
x(ok(X1), ok(X2)) → ok(x(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(6) Obligation:
TRS:
Rules:
active(U11(tt, M, N)) → mark(U12(tt, M, N))
active(U12(tt, M, N)) → mark(s(plus(N, M)))
active(U21(tt, M, N)) → mark(U22(tt, M, N))
active(U22(tt, M, N)) → mark(plus(x(N, M), N))
active(plus(N, 0')) → mark(N)
active(plus(N, s(M))) → mark(U11(tt, M, N))
active(x(N, 0')) → mark(0')
active(x(N, s(M))) → mark(U21(tt, M, N))
active(U11(X1, X2, X3)) → U11(active(X1), X2, X3)
active(U12(X1, X2, X3)) → U12(active(X1), X2, X3)
active(s(X)) → s(active(X))
active(plus(X1, X2)) → plus(active(X1), X2)
active(plus(X1, X2)) → plus(X1, active(X2))
active(U21(X1, X2, X3)) → U21(active(X1), X2, X3)
active(U22(X1, X2, X3)) → U22(active(X1), X2, X3)
active(x(X1, X2)) → x(active(X1), X2)
active(x(X1, X2)) → x(X1, active(X2))
U11(mark(X1), X2, X3) → mark(U11(X1, X2, X3))
U12(mark(X1), X2, X3) → mark(U12(X1, X2, X3))
s(mark(X)) → mark(s(X))
plus(mark(X1), X2) → mark(plus(X1, X2))
plus(X1, mark(X2)) → mark(plus(X1, X2))
U21(mark(X1), X2, X3) → mark(U21(X1, X2, X3))
U22(mark(X1), X2, X3) → mark(U22(X1, X2, X3))
x(mark(X1), X2) → mark(x(X1, X2))
x(X1, mark(X2)) → mark(x(X1, X2))
proper(U11(X1, X2, X3)) → U11(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X1, X2, X3)) → U12(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(plus(X1, X2)) → plus(proper(X1), proper(X2))
proper(U21(X1, X2, X3)) → U21(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U22(X1, X2, X3)) → U22(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(x(X1, X2)) → x(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
U11(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U11(X1, X2, X3))
U12(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U12(X1, X2, X3))
s(ok(X)) → ok(s(X))
plus(ok(X1), ok(X2)) → ok(plus(X1, X2))
U21(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U21(X1, X2, X3))
U22(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U22(X1, X2, X3))
x(ok(X1), ok(X2)) → ok(x(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U11 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
tt :: tt:mark:0':ok
mark :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U12 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
s :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
plus :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U21 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U22 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
x :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
0' :: tt:mark:0':ok
proper :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
ok :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
top :: tt:mark:0':ok → top
hole_tt:mark:0':ok1_0 :: tt:mark:0':ok
hole_top2_0 :: top
gen_tt:mark:0':ok3_0 :: Nat → tt:mark:0':ok
(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
active,
U12,
s,
plus,
U22,
x,
U11,
U21,
proper,
topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U12 < active
s < active
plus < active
U22 < active
x < active
U11 < active
U21 < active
active < top
U12 < proper
s < proper
plus < proper
U22 < proper
x < proper
U11 < proper
U21 < proper
proper < top
(8) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
U11(
tt,
M,
N)) →
mark(
U12(
tt,
M,
N))
active(
U12(
tt,
M,
N)) →
mark(
s(
plus(
N,
M)))
active(
U21(
tt,
M,
N)) →
mark(
U22(
tt,
M,
N))
active(
U22(
tt,
M,
N)) →
mark(
plus(
x(
N,
M),
N))
active(
plus(
N,
0')) →
mark(
N)
active(
plus(
N,
s(
M))) →
mark(
U11(
tt,
M,
N))
active(
x(
N,
0')) →
mark(
0')
active(
x(
N,
s(
M))) →
mark(
U21(
tt,
M,
N))
active(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
U11(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
U12(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
active(
X1),
X2)
active(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
active(
X2))
active(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
U21(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
U22(
X1,
X2,
X3)) →
U22(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
x(
X1,
X2)) →
x(
active(
X1),
X2)
active(
x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
active(
X2))
U11(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U11(
X1,
X2,
X3))
U12(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U12(
X1,
X2,
X3))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
plus(
mark(
X1),
X2) →
mark(
plus(
X1,
X2))
plus(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
plus(
X1,
X2))
U21(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U21(
X1,
X2,
X3))
U22(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U22(
X1,
X2,
X3))
x(
mark(
X1),
X2) →
mark(
x(
X1,
X2))
x(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
x(
X1,
X2))
proper(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
U21(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
U22(
X1,
X2,
X3)) →
U22(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
x(
X1,
X2)) →
x(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
U11(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U11(
X1,
X2,
X3))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U12(
X1,
X2,
X3))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
plus(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
plus(
X1,
X2))
U21(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U21(
X1,
X2,
X3))
U22(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U22(
X1,
X2,
X3))
x(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
x(
X1,
X2))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U11 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
tt :: tt:mark:0':ok
mark :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U12 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
s :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
plus :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U21 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U22 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
x :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
0' :: tt:mark:0':ok
proper :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
ok :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
top :: tt:mark:0':ok → top
hole_tt:mark:0':ok1_0 :: tt:mark:0':ok
hole_top2_0 :: top
gen_tt:mark:0':ok3_0 :: Nat → tt:mark:0':ok
Generator Equations:
gen_tt:mark:0':ok3_0(0) ⇔ tt
gen_tt:mark:0':ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_tt:mark:0':ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
U12, active, s, plus, U22, x, U11, U21, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
U12 < active
s < active
plus < active
U22 < active
x < active
U11 < active
U21 < active
active < top
U12 < proper
s < proper
plus < proper
U22 < proper
x < proper
U11 < proper
U21 < proper
proper < top
(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol U12.
(10) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
U11(
tt,
M,
N)) →
mark(
U12(
tt,
M,
N))
active(
U12(
tt,
M,
N)) →
mark(
s(
plus(
N,
M)))
active(
U21(
tt,
M,
N)) →
mark(
U22(
tt,
M,
N))
active(
U22(
tt,
M,
N)) →
mark(
plus(
x(
N,
M),
N))
active(
plus(
N,
0')) →
mark(
N)
active(
plus(
N,
s(
M))) →
mark(
U11(
tt,
M,
N))
active(
x(
N,
0')) →
mark(
0')
active(
x(
N,
s(
M))) →
mark(
U21(
tt,
M,
N))
active(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
U11(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
U12(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
active(
X1),
X2)
active(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
active(
X2))
active(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
U21(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
U22(
X1,
X2,
X3)) →
U22(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
x(
X1,
X2)) →
x(
active(
X1),
X2)
active(
x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
active(
X2))
U11(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U11(
X1,
X2,
X3))
U12(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U12(
X1,
X2,
X3))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
plus(
mark(
X1),
X2) →
mark(
plus(
X1,
X2))
plus(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
plus(
X1,
X2))
U21(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U21(
X1,
X2,
X3))
U22(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U22(
X1,
X2,
X3))
x(
mark(
X1),
X2) →
mark(
x(
X1,
X2))
x(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
x(
X1,
X2))
proper(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
U21(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
U22(
X1,
X2,
X3)) →
U22(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
x(
X1,
X2)) →
x(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
U11(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U11(
X1,
X2,
X3))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U12(
X1,
X2,
X3))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
plus(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
plus(
X1,
X2))
U21(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U21(
X1,
X2,
X3))
U22(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U22(
X1,
X2,
X3))
x(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
x(
X1,
X2))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U11 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
tt :: tt:mark:0':ok
mark :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U12 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
s :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
plus :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U21 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U22 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
x :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
0' :: tt:mark:0':ok
proper :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
ok :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
top :: tt:mark:0':ok → top
hole_tt:mark:0':ok1_0 :: tt:mark:0':ok
hole_top2_0 :: top
gen_tt:mark:0':ok3_0 :: Nat → tt:mark:0':ok
Generator Equations:
gen_tt:mark:0':ok3_0(0) ⇔ tt
gen_tt:mark:0':ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_tt:mark:0':ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
s, active, plus, U22, x, U11, U21, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
s < active
plus < active
U22 < active
x < active
U11 < active
U21 < active
active < top
s < proper
plus < proper
U22 < proper
x < proper
U11 < proper
U21 < proper
proper < top
(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol s.
(12) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
U11(
tt,
M,
N)) →
mark(
U12(
tt,
M,
N))
active(
U12(
tt,
M,
N)) →
mark(
s(
plus(
N,
M)))
active(
U21(
tt,
M,
N)) →
mark(
U22(
tt,
M,
N))
active(
U22(
tt,
M,
N)) →
mark(
plus(
x(
N,
M),
N))
active(
plus(
N,
0')) →
mark(
N)
active(
plus(
N,
s(
M))) →
mark(
U11(
tt,
M,
N))
active(
x(
N,
0')) →
mark(
0')
active(
x(
N,
s(
M))) →
mark(
U21(
tt,
M,
N))
active(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
U11(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
U12(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
active(
X1),
X2)
active(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
active(
X2))
active(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
U21(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
U22(
X1,
X2,
X3)) →
U22(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
x(
X1,
X2)) →
x(
active(
X1),
X2)
active(
x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
active(
X2))
U11(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U11(
X1,
X2,
X3))
U12(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U12(
X1,
X2,
X3))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
plus(
mark(
X1),
X2) →
mark(
plus(
X1,
X2))
plus(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
plus(
X1,
X2))
U21(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U21(
X1,
X2,
X3))
U22(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U22(
X1,
X2,
X3))
x(
mark(
X1),
X2) →
mark(
x(
X1,
X2))
x(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
x(
X1,
X2))
proper(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
U21(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
U22(
X1,
X2,
X3)) →
U22(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
x(
X1,
X2)) →
x(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
U11(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U11(
X1,
X2,
X3))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U12(
X1,
X2,
X3))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
plus(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
plus(
X1,
X2))
U21(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U21(
X1,
X2,
X3))
U22(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U22(
X1,
X2,
X3))
x(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
x(
X1,
X2))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U11 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
tt :: tt:mark:0':ok
mark :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U12 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
s :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
plus :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U21 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U22 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
x :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
0' :: tt:mark:0':ok
proper :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
ok :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
top :: tt:mark:0':ok → top
hole_tt:mark:0':ok1_0 :: tt:mark:0':ok
hole_top2_0 :: top
gen_tt:mark:0':ok3_0 :: Nat → tt:mark:0':ok
Generator Equations:
gen_tt:mark:0':ok3_0(0) ⇔ tt
gen_tt:mark:0':ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_tt:mark:0':ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
plus, active, U22, x, U11, U21, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
plus < active
U22 < active
x < active
U11 < active
U21 < active
active < top
plus < proper
U22 < proper
x < proper
U11 < proper
U21 < proper
proper < top
(13) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol plus.
(14) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
U11(
tt,
M,
N)) →
mark(
U12(
tt,
M,
N))
active(
U12(
tt,
M,
N)) →
mark(
s(
plus(
N,
M)))
active(
U21(
tt,
M,
N)) →
mark(
U22(
tt,
M,
N))
active(
U22(
tt,
M,
N)) →
mark(
plus(
x(
N,
M),
N))
active(
plus(
N,
0')) →
mark(
N)
active(
plus(
N,
s(
M))) →
mark(
U11(
tt,
M,
N))
active(
x(
N,
0')) →
mark(
0')
active(
x(
N,
s(
M))) →
mark(
U21(
tt,
M,
N))
active(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
U11(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
U12(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
active(
X1),
X2)
active(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
active(
X2))
active(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
U21(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
U22(
X1,
X2,
X3)) →
U22(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
x(
X1,
X2)) →
x(
active(
X1),
X2)
active(
x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
active(
X2))
U11(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U11(
X1,
X2,
X3))
U12(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U12(
X1,
X2,
X3))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
plus(
mark(
X1),
X2) →
mark(
plus(
X1,
X2))
plus(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
plus(
X1,
X2))
U21(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U21(
X1,
X2,
X3))
U22(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U22(
X1,
X2,
X3))
x(
mark(
X1),
X2) →
mark(
x(
X1,
X2))
x(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
x(
X1,
X2))
proper(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
U21(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
U22(
X1,
X2,
X3)) →
U22(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
x(
X1,
X2)) →
x(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
U11(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U11(
X1,
X2,
X3))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U12(
X1,
X2,
X3))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
plus(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
plus(
X1,
X2))
U21(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U21(
X1,
X2,
X3))
U22(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U22(
X1,
X2,
X3))
x(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
x(
X1,
X2))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U11 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
tt :: tt:mark:0':ok
mark :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U12 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
s :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
plus :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U21 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U22 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
x :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
0' :: tt:mark:0':ok
proper :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
ok :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
top :: tt:mark:0':ok → top
hole_tt:mark:0':ok1_0 :: tt:mark:0':ok
hole_top2_0 :: top
gen_tt:mark:0':ok3_0 :: Nat → tt:mark:0':ok
Generator Equations:
gen_tt:mark:0':ok3_0(0) ⇔ tt
gen_tt:mark:0':ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_tt:mark:0':ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
U22, active, x, U11, U21, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
U22 < active
x < active
U11 < active
U21 < active
active < top
U22 < proper
x < proper
U11 < proper
U21 < proper
proper < top
(15) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol U22.
(16) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
U11(
tt,
M,
N)) →
mark(
U12(
tt,
M,
N))
active(
U12(
tt,
M,
N)) →
mark(
s(
plus(
N,
M)))
active(
U21(
tt,
M,
N)) →
mark(
U22(
tt,
M,
N))
active(
U22(
tt,
M,
N)) →
mark(
plus(
x(
N,
M),
N))
active(
plus(
N,
0')) →
mark(
N)
active(
plus(
N,
s(
M))) →
mark(
U11(
tt,
M,
N))
active(
x(
N,
0')) →
mark(
0')
active(
x(
N,
s(
M))) →
mark(
U21(
tt,
M,
N))
active(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
U11(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
U12(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
active(
X1),
X2)
active(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
active(
X2))
active(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
U21(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
U22(
X1,
X2,
X3)) →
U22(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
x(
X1,
X2)) →
x(
active(
X1),
X2)
active(
x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
active(
X2))
U11(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U11(
X1,
X2,
X3))
U12(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U12(
X1,
X2,
X3))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
plus(
mark(
X1),
X2) →
mark(
plus(
X1,
X2))
plus(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
plus(
X1,
X2))
U21(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U21(
X1,
X2,
X3))
U22(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U22(
X1,
X2,
X3))
x(
mark(
X1),
X2) →
mark(
x(
X1,
X2))
x(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
x(
X1,
X2))
proper(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
U21(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
U22(
X1,
X2,
X3)) →
U22(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
x(
X1,
X2)) →
x(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
U11(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U11(
X1,
X2,
X3))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U12(
X1,
X2,
X3))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
plus(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
plus(
X1,
X2))
U21(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U21(
X1,
X2,
X3))
U22(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U22(
X1,
X2,
X3))
x(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
x(
X1,
X2))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U11 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
tt :: tt:mark:0':ok
mark :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U12 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
s :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
plus :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U21 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U22 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
x :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
0' :: tt:mark:0':ok
proper :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
ok :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
top :: tt:mark:0':ok → top
hole_tt:mark:0':ok1_0 :: tt:mark:0':ok
hole_top2_0 :: top
gen_tt:mark:0':ok3_0 :: Nat → tt:mark:0':ok
Generator Equations:
gen_tt:mark:0':ok3_0(0) ⇔ tt
gen_tt:mark:0':ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_tt:mark:0':ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
x, active, U11, U21, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
x < active
U11 < active
U21 < active
active < top
x < proper
U11 < proper
U21 < proper
proper < top
(17) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol x.
(18) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
U11(
tt,
M,
N)) →
mark(
U12(
tt,
M,
N))
active(
U12(
tt,
M,
N)) →
mark(
s(
plus(
N,
M)))
active(
U21(
tt,
M,
N)) →
mark(
U22(
tt,
M,
N))
active(
U22(
tt,
M,
N)) →
mark(
plus(
x(
N,
M),
N))
active(
plus(
N,
0')) →
mark(
N)
active(
plus(
N,
s(
M))) →
mark(
U11(
tt,
M,
N))
active(
x(
N,
0')) →
mark(
0')
active(
x(
N,
s(
M))) →
mark(
U21(
tt,
M,
N))
active(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
U11(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
U12(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
active(
X1),
X2)
active(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
active(
X2))
active(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
U21(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
U22(
X1,
X2,
X3)) →
U22(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
x(
X1,
X2)) →
x(
active(
X1),
X2)
active(
x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
active(
X2))
U11(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U11(
X1,
X2,
X3))
U12(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U12(
X1,
X2,
X3))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
plus(
mark(
X1),
X2) →
mark(
plus(
X1,
X2))
plus(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
plus(
X1,
X2))
U21(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U21(
X1,
X2,
X3))
U22(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U22(
X1,
X2,
X3))
x(
mark(
X1),
X2) →
mark(
x(
X1,
X2))
x(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
x(
X1,
X2))
proper(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
U21(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
U22(
X1,
X2,
X3)) →
U22(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
x(
X1,
X2)) →
x(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
U11(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U11(
X1,
X2,
X3))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U12(
X1,
X2,
X3))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
plus(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
plus(
X1,
X2))
U21(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U21(
X1,
X2,
X3))
U22(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U22(
X1,
X2,
X3))
x(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
x(
X1,
X2))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U11 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
tt :: tt:mark:0':ok
mark :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U12 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
s :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
plus :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U21 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U22 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
x :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
0' :: tt:mark:0':ok
proper :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
ok :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
top :: tt:mark:0':ok → top
hole_tt:mark:0':ok1_0 :: tt:mark:0':ok
hole_top2_0 :: top
gen_tt:mark:0':ok3_0 :: Nat → tt:mark:0':ok
Generator Equations:
gen_tt:mark:0':ok3_0(0) ⇔ tt
gen_tt:mark:0':ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_tt:mark:0':ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
U11, active, U21, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
U11 < active
U21 < active
active < top
U11 < proper
U21 < proper
proper < top
(19) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol U11.
(20) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
U11(
tt,
M,
N)) →
mark(
U12(
tt,
M,
N))
active(
U12(
tt,
M,
N)) →
mark(
s(
plus(
N,
M)))
active(
U21(
tt,
M,
N)) →
mark(
U22(
tt,
M,
N))
active(
U22(
tt,
M,
N)) →
mark(
plus(
x(
N,
M),
N))
active(
plus(
N,
0')) →
mark(
N)
active(
plus(
N,
s(
M))) →
mark(
U11(
tt,
M,
N))
active(
x(
N,
0')) →
mark(
0')
active(
x(
N,
s(
M))) →
mark(
U21(
tt,
M,
N))
active(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
U11(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
U12(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
active(
X1),
X2)
active(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
active(
X2))
active(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
U21(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
U22(
X1,
X2,
X3)) →
U22(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
x(
X1,
X2)) →
x(
active(
X1),
X2)
active(
x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
active(
X2))
U11(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U11(
X1,
X2,
X3))
U12(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U12(
X1,
X2,
X3))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
plus(
mark(
X1),
X2) →
mark(
plus(
X1,
X2))
plus(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
plus(
X1,
X2))
U21(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U21(
X1,
X2,
X3))
U22(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U22(
X1,
X2,
X3))
x(
mark(
X1),
X2) →
mark(
x(
X1,
X2))
x(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
x(
X1,
X2))
proper(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
U21(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
U22(
X1,
X2,
X3)) →
U22(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
x(
X1,
X2)) →
x(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
U11(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U11(
X1,
X2,
X3))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U12(
X1,
X2,
X3))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
plus(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
plus(
X1,
X2))
U21(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U21(
X1,
X2,
X3))
U22(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U22(
X1,
X2,
X3))
x(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
x(
X1,
X2))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U11 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
tt :: tt:mark:0':ok
mark :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U12 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
s :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
plus :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U21 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U22 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
x :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
0' :: tt:mark:0':ok
proper :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
ok :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
top :: tt:mark:0':ok → top
hole_tt:mark:0':ok1_0 :: tt:mark:0':ok
hole_top2_0 :: top
gen_tt:mark:0':ok3_0 :: Nat → tt:mark:0':ok
Generator Equations:
gen_tt:mark:0':ok3_0(0) ⇔ tt
gen_tt:mark:0':ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_tt:mark:0':ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
U21, active, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
U21 < active
active < top
U21 < proper
proper < top
(21) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol U21.
(22) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
U11(
tt,
M,
N)) →
mark(
U12(
tt,
M,
N))
active(
U12(
tt,
M,
N)) →
mark(
s(
plus(
N,
M)))
active(
U21(
tt,
M,
N)) →
mark(
U22(
tt,
M,
N))
active(
U22(
tt,
M,
N)) →
mark(
plus(
x(
N,
M),
N))
active(
plus(
N,
0')) →
mark(
N)
active(
plus(
N,
s(
M))) →
mark(
U11(
tt,
M,
N))
active(
x(
N,
0')) →
mark(
0')
active(
x(
N,
s(
M))) →
mark(
U21(
tt,
M,
N))
active(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
U11(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
U12(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
active(
X1),
X2)
active(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
active(
X2))
active(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
U21(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
U22(
X1,
X2,
X3)) →
U22(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
x(
X1,
X2)) →
x(
active(
X1),
X2)
active(
x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
active(
X2))
U11(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U11(
X1,
X2,
X3))
U12(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U12(
X1,
X2,
X3))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
plus(
mark(
X1),
X2) →
mark(
plus(
X1,
X2))
plus(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
plus(
X1,
X2))
U21(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U21(
X1,
X2,
X3))
U22(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U22(
X1,
X2,
X3))
x(
mark(
X1),
X2) →
mark(
x(
X1,
X2))
x(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
x(
X1,
X2))
proper(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
U21(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
U22(
X1,
X2,
X3)) →
U22(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
x(
X1,
X2)) →
x(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
U11(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U11(
X1,
X2,
X3))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U12(
X1,
X2,
X3))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
plus(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
plus(
X1,
X2))
U21(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U21(
X1,
X2,
X3))
U22(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U22(
X1,
X2,
X3))
x(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
x(
X1,
X2))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U11 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
tt :: tt:mark:0':ok
mark :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U12 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
s :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
plus :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U21 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U22 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
x :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
0' :: tt:mark:0':ok
proper :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
ok :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
top :: tt:mark:0':ok → top
hole_tt:mark:0':ok1_0 :: tt:mark:0':ok
hole_top2_0 :: top
gen_tt:mark:0':ok3_0 :: Nat → tt:mark:0':ok
Generator Equations:
gen_tt:mark:0':ok3_0(0) ⇔ tt
gen_tt:mark:0':ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_tt:mark:0':ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
active, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
active < top
proper < top
(23) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol active.
(24) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
U11(
tt,
M,
N)) →
mark(
U12(
tt,
M,
N))
active(
U12(
tt,
M,
N)) →
mark(
s(
plus(
N,
M)))
active(
U21(
tt,
M,
N)) →
mark(
U22(
tt,
M,
N))
active(
U22(
tt,
M,
N)) →
mark(
plus(
x(
N,
M),
N))
active(
plus(
N,
0')) →
mark(
N)
active(
plus(
N,
s(
M))) →
mark(
U11(
tt,
M,
N))
active(
x(
N,
0')) →
mark(
0')
active(
x(
N,
s(
M))) →
mark(
U21(
tt,
M,
N))
active(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
U11(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
U12(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
active(
X1),
X2)
active(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
active(
X2))
active(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
U21(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
U22(
X1,
X2,
X3)) →
U22(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
x(
X1,
X2)) →
x(
active(
X1),
X2)
active(
x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
active(
X2))
U11(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U11(
X1,
X2,
X3))
U12(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U12(
X1,
X2,
X3))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
plus(
mark(
X1),
X2) →
mark(
plus(
X1,
X2))
plus(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
plus(
X1,
X2))
U21(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U21(
X1,
X2,
X3))
U22(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U22(
X1,
X2,
X3))
x(
mark(
X1),
X2) →
mark(
x(
X1,
X2))
x(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
x(
X1,
X2))
proper(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
U21(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
U22(
X1,
X2,
X3)) →
U22(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
x(
X1,
X2)) →
x(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
U11(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U11(
X1,
X2,
X3))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U12(
X1,
X2,
X3))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
plus(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
plus(
X1,
X2))
U21(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U21(
X1,
X2,
X3))
U22(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U22(
X1,
X2,
X3))
x(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
x(
X1,
X2))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U11 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
tt :: tt:mark:0':ok
mark :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U12 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
s :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
plus :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U21 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U22 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
x :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
0' :: tt:mark:0':ok
proper :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
ok :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
top :: tt:mark:0':ok → top
hole_tt:mark:0':ok1_0 :: tt:mark:0':ok
hole_top2_0 :: top
gen_tt:mark:0':ok3_0 :: Nat → tt:mark:0':ok
Generator Equations:
gen_tt:mark:0':ok3_0(0) ⇔ tt
gen_tt:mark:0':ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_tt:mark:0':ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
proper < top
(25) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol proper.
(26) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
U11(
tt,
M,
N)) →
mark(
U12(
tt,
M,
N))
active(
U12(
tt,
M,
N)) →
mark(
s(
plus(
N,
M)))
active(
U21(
tt,
M,
N)) →
mark(
U22(
tt,
M,
N))
active(
U22(
tt,
M,
N)) →
mark(
plus(
x(
N,
M),
N))
active(
plus(
N,
0')) →
mark(
N)
active(
plus(
N,
s(
M))) →
mark(
U11(
tt,
M,
N))
active(
x(
N,
0')) →
mark(
0')
active(
x(
N,
s(
M))) →
mark(
U21(
tt,
M,
N))
active(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
U11(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
U12(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
active(
X1),
X2)
active(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
active(
X2))
active(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
U21(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
U22(
X1,
X2,
X3)) →
U22(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
x(
X1,
X2)) →
x(
active(
X1),
X2)
active(
x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
active(
X2))
U11(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U11(
X1,
X2,
X3))
U12(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U12(
X1,
X2,
X3))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
plus(
mark(
X1),
X2) →
mark(
plus(
X1,
X2))
plus(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
plus(
X1,
X2))
U21(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U21(
X1,
X2,
X3))
U22(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U22(
X1,
X2,
X3))
x(
mark(
X1),
X2) →
mark(
x(
X1,
X2))
x(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
x(
X1,
X2))
proper(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
U21(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
U22(
X1,
X2,
X3)) →
U22(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
x(
X1,
X2)) →
x(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
U11(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U11(
X1,
X2,
X3))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U12(
X1,
X2,
X3))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
plus(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
plus(
X1,
X2))
U21(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U21(
X1,
X2,
X3))
U22(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U22(
X1,
X2,
X3))
x(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
x(
X1,
X2))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U11 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
tt :: tt:mark:0':ok
mark :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U12 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
s :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
plus :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U21 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U22 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
x :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
0' :: tt:mark:0':ok
proper :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
ok :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
top :: tt:mark:0':ok → top
hole_tt:mark:0':ok1_0 :: tt:mark:0':ok
hole_top2_0 :: top
gen_tt:mark:0':ok3_0 :: Nat → tt:mark:0':ok
Generator Equations:
gen_tt:mark:0':ok3_0(0) ⇔ tt
gen_tt:mark:0':ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_tt:mark:0':ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
top
(27) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol top.
(28) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
U11(
tt,
M,
N)) →
mark(
U12(
tt,
M,
N))
active(
U12(
tt,
M,
N)) →
mark(
s(
plus(
N,
M)))
active(
U21(
tt,
M,
N)) →
mark(
U22(
tt,
M,
N))
active(
U22(
tt,
M,
N)) →
mark(
plus(
x(
N,
M),
N))
active(
plus(
N,
0')) →
mark(
N)
active(
plus(
N,
s(
M))) →
mark(
U11(
tt,
M,
N))
active(
x(
N,
0')) →
mark(
0')
active(
x(
N,
s(
M))) →
mark(
U21(
tt,
M,
N))
active(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
U11(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
U12(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
active(
X1),
X2)
active(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
X1,
active(
X2))
active(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
U21(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
U22(
X1,
X2,
X3)) →
U22(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
x(
X1,
X2)) →
x(
active(
X1),
X2)
active(
x(
X1,
X2)) →
x(
X1,
active(
X2))
U11(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U11(
X1,
X2,
X3))
U12(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U12(
X1,
X2,
X3))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
plus(
mark(
X1),
X2) →
mark(
plus(
X1,
X2))
plus(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
plus(
X1,
X2))
U21(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U21(
X1,
X2,
X3))
U22(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
U22(
X1,
X2,
X3))
x(
mark(
X1),
X2) →
mark(
x(
X1,
X2))
x(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
x(
X1,
X2))
proper(
U11(
X1,
X2,
X3)) →
U11(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
tt) →
ok(
tt)
proper(
U12(
X1,
X2,
X3)) →
U12(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
plus(
X1,
X2)) →
plus(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
U21(
X1,
X2,
X3)) →
U21(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
U22(
X1,
X2,
X3)) →
U22(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
x(
X1,
X2)) →
x(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
U11(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U11(
X1,
X2,
X3))
U12(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U12(
X1,
X2,
X3))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
plus(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
plus(
X1,
X2))
U21(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U21(
X1,
X2,
X3))
U22(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
U22(
X1,
X2,
X3))
x(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
x(
X1,
X2))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U11 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
tt :: tt:mark:0':ok
mark :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U12 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
s :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
plus :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U21 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
U22 :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
x :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
0' :: tt:mark:0':ok
proper :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
ok :: tt:mark:0':ok → tt:mark:0':ok
top :: tt:mark:0':ok → top
hole_tt:mark:0':ok1_0 :: tt:mark:0':ok
hole_top2_0 :: top
gen_tt:mark:0':ok3_0 :: Nat → tt:mark:0':ok
Generator Equations:
gen_tt:mark:0':ok3_0(0) ⇔ tt
gen_tt:mark:0':ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_tt:mark:0':ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.